閑話休題（数列の極限） - matsubi0526の日記

高校数学のお話です。数列 $\{a_{n}\}$ が次を満たしているとします。
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n a_{n} =0$
このとき、次の極限も成立します。
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n a_{n+1} =0$
証明は分かってしまえば至極簡単で、 $n+1$ をうまく作り出してやれば、
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n a_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right) \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1)a_{n+1} = 1 \cdot 0 = 0$
8月号の学力コンテストでこの極限が出てきたのですが、自分は次数下げの関係式から求めたところ、上記のように、こんなにもあっさり求められてしまうものかと思ってしまったので、備忘のためにメモしておくことにします。