誘導付きで極限を求める問題。はさみうちの原理で求める(4)はうまく誘導に乗れずに解けなかった。(4)の解説は次回以降にするとして、今回はまず(2)の極限を解説にしたがって復習することにしよう。求める極限 は次である。
\begin{align}
\alpha = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2} \right)^{n}
\end{align}本問には誘導が付いており、関数 の微分を求めよとの小問があるが、これは合成関数の微分により、
\begin{align}
f^{\prime}(x) = \frac{a^{x} \log{a} + b^{x} \log{b}}{a^{x}+b^{x}}
\end{align}と得られる。さて、問題の極限を求めていくわけだが、
\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} \log{\left( \frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2} \right)^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} n \log{\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2}}
\end{align}を求めることを考える。
ここで、ならば、
であるので、
\begin{align}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log{\dfrac{a^{x}+b^{x}}{2}}
&= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \left\{
\log{ \left( a^{x} +b^{x} \right)} - \log{2} \right\} \\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} \\
&= f^{\prime}(0) \\
&= \frac{\log{a}+\log{b}}{2} = \log{\sqrt{ab}}
\end{align}よって、 が得られたので、
\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2} \right)^{n} = \sqrt{ab}
\end{align}となる。解説を見ればなるほどと分かってしまうものだが、数学の問題を解くときに大事なのは、どういう手法で最終的な解を導き出すかを思いつけるかどうかだと思う。
